Kalkulator Kombinasi dan Permutasi menghitung C(n,r), P(n,r), dan faktorial dengan langkah penyelesaian.
Menggunakan BigInt untuk perhitungan akurat hingga 170!. Dilengkapi segitiga Pascal interaktif, contoh soal dunia nyata (lotere, PIN, tim), dan penjelasan kapan menggunakan kombinasi vs permutasi.
Informasi kalkulator
๐ Cara menggunakan kalkulator ini
- Tentukan total elemen n (ukuran himpunan) dan jumlah elemen yang dipilih r.
- Pilih jenis: kombinasi C(n,r) jika urutan tidak penting, atau permutasi P(n,r) jika urutan penting.
- Untuk faktorial murni, gunakan mode 'n!' dan masukkan nilai n (0-170 didukung dengan BigInt).
- Tekan Hitung untuk hasil + langkah penyelesaian dengan ekspansi faktorial dan penyederhanaan.
- Cek segitiga Pascal interaktif untuk melihat nilai C(n,r) dalam pola visual segitiga.
- Baca contoh dunia nyata (PIN ATM, susunan tim, lotere) untuk memahami kapan pilih kombinasi vs permutasi.
- Tip: rumus mnemonic - 'P butuh urutan, C cukup pemilihan'; C(n,r) โค P(n,r) karena tidak peduli urutan.
๐งฎ Kombinasi, Permutasi, Faktorial
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) ; P(n,r) = n! / (n-r)!
- n! = n ร (n-1) ร (n-2) ร ... ร 2 ร 1, dengan 0! = 1
- Syarat: 0 โค r โค n, n dan r bilangan bulat non-negatif
- Sifat: C(n,r) = C(n,n-r) (simetri)
- P(n,r) = r! ร C(n,r)
- Permutasi siklik: (n-1)! ; permutasi dengan pengulangan: n^r
Untuk n besar, gunakan aproksimasi Stirling: n! โ โ(2ฯn) ร (n/e)^n.
๐ก Contoh: Pilih 3 orang dari 10 untuk tim (kombinasi) vs juara 1-2-3 (permutasi)
Langkah:- Permutasi (urutan penting, juara 1-2-3 berbeda): P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 ร 9 ร 8 = 720.
- Kombinasi (urutan tidak penting, tim 3 anggota): C(10,3) = 10!/(3!ยท7!) = 720/6 = 120.
- Verifikasi: C(10,3) = P(10,3)/3! = 720/6 = 120 โ.
- Interpretasi: 720 susunan podium yang berbeda, tapi hanya 120 komposisi tim unik.
Hasil: P(10,3) = 720 susunan; C(10,3) = 120 tim. Faktor pembeda: 3! = 6 (banyak urutan tiap tim).
โ Pertanyaan yang sering diajukan
Kapan menggunakan kombinasi vs permutasi?
Gunakan PERMUTASI jika urutan mengubah hasil: PIN ATM (1234 โ 4321), juara lomba (medali emas/perak/perunggu), susunan duduk, password. Gunakan KOMBINASI jika urutan tidak penting: memilih tim (Andi-Budi-Citra = Citra-Budi-Andi), bagasi lotere (45-12-7 sama dengan 7-12-45), kombinasi makanan. Test cepat: 'apakah AB dan BA dihitung sama?' Jika ya โ kombinasi.
Apa peluang menang Lotere 6/49?
Pilih 6 angka dari 49: C(49,6) = 49!/(6!ยท43!) = 13.983.816 kombinasi. Peluang menang jackpot dengan satu tiket = 1/13.983.816 โ 0,0000071%. Sebagai perbandingan, peluang tersambar petir seumur hidup di Indonesia ยฑ1/12.000. Indonesia tidak mengizinkan lotere sesuai UU 7/1974, tapi pemahaman peluang ini penting untuk literasi statistik dan menghindari skema judi terselubung.
Berapa banyak susunan password 8 karakter?
Jika karakter dari 95 ASCII printable (huruf besar/kecil + angka + simbol), total = 95^8 = 6,6 ร 10^15 kombinasi. Komputer modern (1 miliar percobaan/detik) butuh 76 hari brute force. Dengan password 12 karakter, naik jadi 5,4 ร 10^23 = 17 ribu tahun. NIST SP 800-63B merekomendasikan password minimal 8 karakter dari kamus luas atau passphrase 4 kata acak (entropy ~44 bit).
Apa itu segitiga Pascal dan kegunaannya?
Segitiga Pascal adalah susunan segitiga dimana setiap angka = jumlah dua angka di atasnya. Baris ke-n berisi nilai C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Aplikasi: koefisien binomial (a+b)^n, fraktal Sierpinski (warnai angka ganjil), probabilitas dalam distribusi binomial, dan kombinatorika diskrit. Pola menarik: jumlah baris ke-n = 2^n; diagonal kedua adalah bilangan segitiga.
Bagaimana menghitung 100! tanpa overflow?
100! โ 9,33 ร 10^157 - jauh melebihi kapasitas integer 64-bit (max 9,22 ร 10^18) atau double float (akurat hingga 17 digit signifikan). Solusi: gunakan BigInt (arbitrary precision) di JavaScript/Python; di Java pakai BigInteger. Untuk aproksimasi cepat, Stirling: 100! โ โ(200ฯ) ร (100/e)^100 dengan galat <1%. Faktorial 170 adalah batas double IEEE 754 (Number.MAX_VALUE).
๐ Sumber & referensi
Terakhir diperbarui: 11 Mei 2026