Kalkulator Turunan menghitung turunan fungsi secara numerik di titik tertentu.
Menggunakan metode central difference. Mendukung fungsi polinomial, trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Dilengkapi tabel 20 rumus turunan dasar dan 7 aturan diferensiasi.
Informasi kalkulator
๐ Cara menggunakan kalkulator ini
- Masukkan fungsi f(x) dalam notasi standar, contoh: x^2 + 3*x - 5 atau sin(x)*exp(x).
- Masukkan titik x di mana turunan ingin dihitung, contoh x = 2.
- Pilih orde turunan: 1 (f'), 2 (f''), atau 3 (f''').
- Atur step h jika perlu (default 1e-5, presisi terbaik untuk central difference).
- Tekan Hitung untuk memperoleh f'(x) numerik dan visualisasi garis singgung.
- Periksa tabel rumus turunan dasar (poly, sin, cos, exp, ln) dan aturan rantai/produk. Tip: gunakan h terlalu kecil (<1e-10) bisa menyebabkan error floating point; central difference dengan h=1e-5 umumnya optimal.
๐งฎ Central Difference Numerik & Aturan Turunan Dasar
f'(x) ~ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h); f''(x) ~ (f(x+h) - 2*f(x) + f(x-h)) / h^2
- f(x) = fungsi yang diturunkan
- x = titik evaluasi
- h = step size kecil (1e-5 default)
- Central difference memiliki error O(h^2), lebih akurat dari forward/backward difference O(h)
Aturan dasar: d/dx (x^n) = n*x^(n-1); d/dx sin(x) = cos(x); d/dx cos(x) = -sin(x); d/dx e^x = e^x; d/dx ln(x) = 1/x. Aturan rantai: d/dx f(g(x)) = f'(g(x))*g'(x).
๐ก Contoh: Hitung f'(2) untuk f(x) = x^3 - 2x + 1
Diketahui:- f(x) = x^3 - 2x + 1
- x = 2
- h = 1e-5
Langkah:- Hitung analitik: f'(x) = 3x^2 - 2; f'(2) = 3*4 - 2 = 10
- Numerik: f(2.00001) = (2.00001)^3 - 2*(2.00001) + 1 = 5.00010000...
- f(1.99999) = (1.99999)^3 - 2*(1.99999) + 1 = 4.99990000...
- f'(2) ~ (5.00010000 - 4.99990000) / (2 * 1e-5) = 0.0002 / 0.00002 = 10.000
- Hasil numerik cocok dengan analitik = 10
Hasil: f'(2) = 10. Garis singgung di titik (2, 5) memiliki kemiringan 10, persamaan: y = 10x - 15.
โ Pertanyaan yang sering diajukan
Apa beda central, forward, dan backward difference?
Forward: (f(x+h)-f(x))/h, error O(h). Backward: (f(x)-f(x-h))/h, error O(h). Central: (f(x+h)-f(x-h))/(2h), error O(h^2), paling akurat. Forward/backward dipakai di tepi domain ketika x-h atau x+h tidak terdefinisi. Central tidak bisa di endpoint kiri/kanan.
Kapan turunan numerik kurang akurat?
Turunan numerik bermasalah saat: 1) Fungsi tidak smooth atau ada diskontinuitas dekat x, 2) Fungsi memiliki osilasi tinggi (sin(1/x) dekat 0), 3) h terlalu besar (truncation error tinggi) atau terlalu kecil (round-off floating point dominan). Untuk fungsi simbolik, gunakan CAS seperti SymPy atau Wolfram Alpha untuk turunan eksak.
Apa aplikasi turunan di kehidupan sehari-hari?
Turunan mengukur laju perubahan: kecepatan = turunan posisi terhadap waktu; percepatan = turunan kecepatan. Di ekonomi: marginal cost = turunan biaya total; marginal revenue = turunan revenue. Di mesin/optimasi: titik kritis (f'=0) untuk minimum/maximum biaya, profit, atau efisiensi. Di kedokteran: laju pertumbuhan tumor, laju eliminasi obat (farmakokinetik).
Bagaimana turunan parsial untuk fungsi multivariabel?
Turunan parsial df/dx menghitung perubahan f terhadap x dengan variabel lain dianggap konstan. Contoh f(x,y) = x^2 + 3xy; df/dx = 2x + 3y, df/dy = 3x. Kalkulator ini fokus pada fungsi 1 variabel; untuk multivariabel gunakan Wolfram Alpha, SymPy, atau Mathematica. Gradient dan divergence adalah generalisasi multivariabel.
Apa aturan rantai dan kapan digunakan?
Aturan rantai untuk turunan fungsi komposit: jika y = f(g(x)), maka dy/dx = f'(g(x)) * g'(x). Contoh y = sin(x^2); dy/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2). Aturan rantai sangat penting dalam backpropagation neural network: gradient loss terhadap parameter dihitung dengan aturan rantai berlapis dari output ke input.
๐ Sumber & referensi
Terakhir diperbarui: 11 Mei 2026