mod

Kalkulator Modulo & Aritmetika Modular

Operasi modulo, FPB & KPK, aritmetika modular, pangkat modular (modPow), dan Chinese Remainder Theorem.

MATEMATIKA

Kalkulator modulo dan aritmetika modular untuk siswa, mahasiswa, dan praktisi kriptografi. Lengkap dengan algoritma yang biasa dipakai di teori bilangan dan ilmu komputer.

Lima tab: operasi modulo (a mod n) dengan perbandingan Euclidean vs JavaScript, FPB & KPK menggunakan algoritma Euclid dengan faktorisasi prima, aritmetika modular (+, -, ×, ÷ mod n) dengan modular inverse, pangkat modular (a^b mod n) menggunakan fast exponentiation BigInt, dan Chinese Remainder Theorem (CRT) untuk sistem residu.

Kalkulator Modulo & Aritmetika Modular

Hitung operasi modulo, FPB & KPK, aritmetika modular, pangkat modular, dan sistem residu (CRT).

Hitung sisa pembagian a mod n dengan definisi Euclidean (selalu non-negatif). Bandingkan dengan operator % JavaScript.

Tentang Aritmetika Modular:Cabang matematika yang menangani bilangan bulat dengan "membungkus" pada modulus tertentu. Digunakan dalam kriptografi (RSA, Diffie-Hellman), ilmu komputer (hashing), dan teori bilangan. Definisi Euclidean dari a mod n selalu menghasilkan nilai dalam rentang [0, n).

Informasi kalkulator

Cara menggunakan kalkulator ini

  1. Pilih tab Modulo untuk operasi a mod n; masukkan bilangan a (boleh negatif) dan modulus n positif.
  2. Tab FPB & KPK: masukkan dua atau lebih bilangan; kalkulator memakai algoritma Euclid dan menampilkan faktorisasi prima.
  3. Tab Aritmetika Modular: pilih operasi (+, -, x, /) di bawah modulus tertentu; pembagian memakai modular inverse.
  4. Tab Pangkat Modular: hitung a^b mod n dengan fast exponentiation, mendukung bilangan besar via BigInt.
  5. Tab CRT (Chinese Remainder Theorem): masukkan sistem residu (x congruent r1 mod m1, r2 mod m2, dst) dengan modulus saling coprime.
  6. Tips: di matematika murni, hasil a mod n selalu non-negatif (Euclidean); di banyak bahasa pemrograman (JS, C), tanda mengikuti pembilang.

Aritmetika Modular dan Algoritma Euclid

a mod n = a - n * floor(a/n) (Euclidean) ; FPB(a, b) = FPB(b, a mod b) sampai b = 0 ; KPK(a, b) = (a * b) / FPB(a, b) ; Fermat little: a^(p-1) mod p = 1 jika p prima dan gcd(a, p) = 1
  • a, n: bilangan bulat dengan n > 0
  • FPB: Faktor Persekutuan Terbesar (GCD)
  • KPK: Kelipatan Persekutuan Terkecil (LCM)
  • Modular inverse a^-1 mod n: bilangan x dengan a*x congruent 1 mod n (ada jika gcd(a, n) = 1)

Fast exponentiation menghitung a^b mod n dalam waktu O(log b) dengan teknik square-and-multiply; sangat penting untuk RSA dan kriptografi modern.

Contoh: Hitung 7^256 mod 13 dengan fast exponentiation

Diketahui:
  • Basis a = 7, eksponen b = 256, modulus n = 13
  • 256 dalam biner: 100000000
Langkah:
  1. Cek Fermat: 7^12 mod 13 = 1 karena 13 prima dan gcd(7, 13) = 1
  2. 256 mod 12 = 4, jadi 7^256 mod 13 = 7^4 mod 13
  3. 7^2 mod 13 = 49 mod 13 = 49 - 3*13 = 10
  4. 7^4 mod 13 = (7^2)^2 mod 13 = 10^2 mod 13 = 100 mod 13 = 100 - 7*13 = 9
  5. Verifikasi via fast-exp langsung: 7^256 mod 13 = 9

Hasil: 7^256 mod 13 = 9

Pertanyaan yang sering diajukan

Kenapa hasil modulo di JavaScript bisa negatif?
Operator % di JavaScript, C, dan Java mengikuti truncated division: tanda hasil mengikuti pembilang. Contoh -7 % 3 = -1, bukan 2. Untuk hasil non-negatif (Euclidean modulo), pakai ((a % n) + n) % n. Python dan Ruby memakai floored division sehingga -7 % 3 = 2 secara langsung. Penting saat memprogram kriptografi atau hash table.
Kapan modular inverse tidak ada?
Modular inverse a^-1 mod n hanya ada jika gcd(a, n) = 1 (a dan n coprime). Contoh: invers 4 mod 8 tidak ada karena gcd(4, 8) = 4, sedangkan invers 3 mod 8 = 3 karena 3*3 mod 8 = 9 mod 8 = 1. Konsep ini penting untuk algoritma RSA: kunci privat d adalah invers dari e modulo phi(n).
Apa kegunaan Chinese Remainder Theorem?
CRT memecah perhitungan modulo besar menjadi modulo-modulo kecil yang saling coprime, mempercepat operasi RSA hingga 4x. Aplikasi lain: sinkronisasi jadwal periodik (mencari kapan dua siklus berimpit), kalender (memecah hari, bulan, tahun), dan rekonstruksi pecahan berlebih (secret sharing Shamir). CRT pertama kali muncul di kitab Sun Tzu Suan Ching abad ke-5.
Apa hubungan FPB, KPK, dan algoritma Euclid?
Algoritma Euclid (300 SM) menghitung FPB(a, b) dengan replacing pasangan (a, b) jadi (b, a mod b) sampai b = 0. Sangat efisien: kompleksitas O(log min(a, b)). KPK(a, b) = a*b / FPB(a, b) langsung mengikuti dari fakta a*b = FPB*KPK. Di Indonesia, FPB dan KPK diajarkan kelas 4-5 SD dengan metode faktorisasi prima, lalu diperkenalkan algoritma Euclid di tingkat kompetisi.
Bagaimana modulo dipakai di kriptografi?
Hampir semua kriptografi kunci publik (RSA, Diffie-Hellman, ElGamal, ECC) didasarkan pada aritmetika modular dengan modulus 2048-4096 bit. Keamanannya bergantung pada sulitnya faktorisasi bilangan besar dan logaritma diskret. Hash function (SHA-256) dan generator bilangan acak juga memakai operasi modular. Tanpa fast exponentiation modular, RSA tidak akan praktis di internet modern.

Terakhir diperbarui: 11 Mei 2026

Kalkulator Terkait

🤰Masa Subur
KESEHATAN

Kalkulator Masa Subur dan Jenis Kelamin

Hitung masa subur Anda berdasarkan siklus menstruasi dan prediksi jenis kelamin bayi menggunakan metode Shettles.

Buka Kalkulator →
📅Konversi Hijriah
AGAMA · SOSIAL

Kalkulator Konversi Kalender Hijriah dan Masehi

Konversi tanggal antara kalender Hijriah (Islam) dan Masehi (Gregorian) dengan mudah dan akurat.

Buka Kalkulator →
🔍Meta Description
MARKETING

Kalkulator Meta Description

Cek dan optimasi panjang meta description untuk SEO. Pastikan meta description Anda sesuai standar Google.

Buka Kalkulator →