Kalkulator Matriks Online membantu Anda melakukan operasi aljabar linear pada matriks.
Mendukung penjumlahan, pengurangan, perkalian, determinan (cofactor expansion), invers (Gauss-Jordan), dan transpose untuk matriks berukuran 2×2 hingga 4×4.
Informasi kalkulator
📋 Cara menggunakan kalkulator ini
- Pilih ukuran matriks (2x2, 3x3, atau 4x4) - jumlah baris dan kolom akan menentukan jumlah field input.
- Isi elemen matriks A baris per baris dari kiri ke kanan; gunakan titik untuk desimal (contoh: 3.14).
- Untuk operasi binary (penjumlahan, pengurangan, perkalian), isi juga matriks B dengan ukuran yang sesuai.
- Pilih operasi: A+B, A-B, A×B, det(A), A⁻¹ (invers), Aᵀ (transpose), atau pangkat A^n.
- Tekan Hitung untuk melihat hasil + langkah penyelesaian (mis. ekspansi kofaktor untuk determinan, Gauss-Jordan untuk invers).
- Cek pesan error: matriks singular (det=0) tidak punya invers; perkalian butuh kolom A = baris B.
- Tip: gunakan invers untuk solve sistem Ax=b lewat x = A⁻¹b (asalkan det(A) ≠ 0).
🧮 Operasi Matriks Dasar
det(A) = Σ(-1)^(i+j) × aᵢⱼ × Mᵢⱼ ; A⁻¹ = (1/det A) × adj(A)
- Mᵢⱼ = minor (determinan submatriks tanpa baris i kolom j)
- adj(A) = transpose matriks kofaktor
- Penjumlahan: (A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
- Perkalian: (A·B)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ
- Transpose: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
Gauss-Jordan: bentuk [A | I] direduksi ke [I | A⁻¹] dengan operasi baris elementer.
💡 Contoh: Determinan dan invers matriks 2×2
Langkah:- det(A) = (4 × 6) - (7 × 2) = 24 - 14 = 10.
- adj(A) = [[6, -7], [-2, 4]] (swap diagonal utama, negatif anti-diagonal).
- A⁻¹ = (1/10) × [[6, -7], [-2, 4]] = [[0,6, -0,7], [-0,2, 0,4]].
- Verifikasi: A × A⁻¹ = [[4×0,6+7×(-0,2), 4×(-0,7)+7×0,4], [2×0,6+6×(-0,2), 2×(-0,7)+6×0,4]] = [[1, 0], [0, 1]].
Hasil: det(A) = 10; A⁻¹ = [[0,6, -0,7], [-0,2, 0,4]]; identitas terverifikasi.
❓ Pertanyaan yang sering diajukan
Kapan matriks tidak punya invers?
Matriks A tidak invertible (singular) jika det(A) = 0. Ini terjadi ketika: (1) satu baris/kolom adalah kombinasi linear dari yang lain, (2) ada baris/kolom nol, (3) baris yang sama berulang. Secara geometris, matriks singular memetakan ruang ke dimensi lebih rendah - tidak ada cara membalik karena informasi hilang. Untuk sistem Ax=b dengan A singular, gunakan pseudo-invers Moore-Penrose.
Apa beda determinan dengan trace?
Determinan adalah skalar yang menunjukkan faktor skala volume transformasi linear (det=2 berarti volume jadi 2x lipat). Trace adalah jumlah elemen diagonal utama, sama dengan jumlah eigenvalues. Keduanya invariant terhadap perubahan basis. Untuk matriks 2×2: det = ad-bc, trace = a+d. Determinan = 0 → matriks singular; trace negatif → ada eigenvalue negatif (untuk simetris).
Bagaimana matriks digunakan di dunia nyata?
Aplikasi luas: (1) computer graphics - transformasi 3D (rotasi, translasi, scaling), (2) machine learning - operasi tensor neural network, (3) sistem persamaan linear engineering (statics, rangkaian listrik), (4) kriptografi - cipher Hill, (5) ekonometrik - regresi OLS (β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy), (6) pencarian Google PageRank - eigenvector dari matriks adjacency. NumPy dan MATLAB built around matrix operations.
Apa metode tercepat untuk determinan matriks besar?
Ekspansi kofaktor butuh O(n!) operasi - tidak praktis di atas 4×4. Untuk matriks besar gunakan dekomposisi LU: ubah A = LU lalu det(A) = produk diagonal U. Kompleksitas O(n³). Untuk matriks simetris positif-definit, gunakan dekomposisi Cholesky A = LLᵀ. Library numerik (LAPACK, NumPy linalg) otomatis pilih algoritma optimal berdasarkan struktur matriks.
Apa itu eigenvalue dan eigenvector?
Eigenvector v adalah vektor non-nol yang setelah dikalikan A hanya berubah panjang (bukan arah): Av = λv, dimana λ = eigenvalue. Dihitung dari persamaan karakteristik det(A - λI) = 0. Aplikasi: principal component analysis (PCA), analisis stabilitas sistem dinamik, mode getaran struktur, MRI imaging. Untuk matriks 3×3 maksimal 3 eigenvalue (real atau pasangan kompleks konjugat).
📚 Sumber & referensi
Terakhir diperbarui: 11 Mei 2026