Kalkulator SPLTV untuk siswa SMA dan persiapan SBMPTN/UTBK. Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan tiga metode berbeda dan generator soal latihan.
Empat tab: metode Cramer (determinan 3×3, Dx, Dy, Dz), eliminasi Gauss (row echelon step-by-step), matriks invers (A⁻¹B dengan cofactor dan adjugate), dan generator soal latihan 3 tingkat kesulitan dengan solusi integer.
Informasi kalkulator
📋 Cara menggunakan kalkulator ini
- Pilih tab metode: Cramer (terbaik untuk pemula), Gauss (eliminasi bertahap), Matriks Invers (untuk yang sudah paham aljabar matriks), atau Generator Soal.
- Masukkan tiga persamaan dalam bentuk standar a*x + b*y + c*z = d; isi koefisien a, b, c untuk masing-masing variabel dan konstanta d di setiap persamaan.
- Pada tab Cramer, kalkulator menghitung determinan utama D, lalu Dx, Dy, Dz (mengganti kolom yang sesuai dengan konstanta); solusi x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D.
- Pada tab Gauss, sistem menampilkan langkah eliminasi baris (row reduction) menuju bentuk eselon, lalu back-substitution untuk mendapatkan nilai variabel.
- Pada tab Matriks Invers, kalkulator menunjukkan matriks A, cofactor, adjugate, A^-1, lalu X = A^-1 * B.
- Generator Soal: pilih tingkat kesulitan (mudah/sedang/sulit); sistem menghasilkan SPLTV dengan solusi bilangan bulat untuk latihan, lengkap dengan kunci jawaban.
🧮 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Metode Cramer dan Gauss
Bentuk umum: a1*x + b1*y + c1*z = d1 ; a2*x + b2*y + c2*z = d2 ; a3*x + b3*y + c3*z = d3. Determinan D = a1(b2*c3 - b3*c2) - b1(a2*c3 - a3*c2) + c1(a2*b3 - a3*b2). Cramer: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D.
- a_i, b_i, c_i = koefisien variabel x, y, z pada persamaan ke-i
- d_i = konstanta ruas kanan persamaan ke-i
- D = determinan matriks koefisien
- Dx, Dy, Dz = determinan dengan kolom x, y, atau z digantikan oleh vektor d
Bila D = 0, SPLTV tidak punya solusi tunggal: dapat tidak konsisten (tidak ada solusi) atau punya tak hingga solusi (bergantung satu sama lain). Cek dengan eliminasi Gauss untuk membedakan kedua kasus. Metode invers gagal saat det(A) = 0 karena matriks singular.
💡 Contoh: Contoh: Harga Tiga Jenis Buah dengan Metode Cramer
Diketahui:- 2 kg apel + 1 kg jeruk + 3 kg mangga = Rp 105.000
- 1 kg apel + 2 kg jeruk + 1 kg mangga = Rp 65.000
- 3 kg apel + 1 kg jeruk + 2 kg mangga = Rp 100.000
- Cari harga per kg apel (x), jeruk (y), mangga (z) dalam ribuan rupiah
Langkah:- Tuliskan matriks koefisien dan konstanta (dalam ribuan): a1=2,b1=1,c1=3,d1=105 ; a2=1,b2=2,c2=1,d2=65 ; a3=3,b3=1,c3=2,d3=100.
- Hitung D = 2*(2*2 - 1*1) - 1*(1*2 - 3*1) + 3*(1*1 - 3*2) = 2*3 - 1*(-1) + 3*(-5) = 6 + 1 - 15 = -8.
- Hitung Dx (ganti kolom x dengan d): Dx = 105*(2*2-1*1) - 1*(65*2 - 100*1) + 3*(65*1 - 100*2) = 105*3 - 30 + 3*(-135) = 315 - 30 - 405 = -120.
- Hitung Dy (ganti kolom y dengan d): Dy = 2*(65*2 - 100*1) - 105*(1*2 - 3*1) + 3*(1*100 - 65*3) = 2*30 - 105*(-1) + 3*(-95) = 60 + 105 - 285 = -120.
- Hitung Dz (ganti kolom z dengan d): Dz = 2*(2*100 - 1*65) - 1*(1*100 - 3*65) + 105*(1*1 - 3*2) = 2*135 - 1*(-95) + 105*(-5) = 270 + 95 - 525 = -160.
- Hitung solusi: x = Dx/D = -120/-8 = 15 ; y = Dy/D = -120/-8 = 15 ; z = Dz/D = -160/-8 = 20.
Hasil: Harga per kg: apel Rp 15.000, jeruk Rp 15.000, mangga Rp 20.000. Verifikasi persamaan 1: 2*15 + 1*15 + 3*20 = 30 + 15 + 60 = 105 ribu (cocok).
❓ Pertanyaan yang sering diajukan
Mana metode terbaik: Cramer, Gauss, atau invers?
Untuk SPLTV (3 variabel), ketiga metode bekerja dengan baik. Cramer paling cepat dihitung manual karena hanya melibatkan 4 determinan 3x3. Gauss lebih sistematis dan dapat diperluas ke n variabel dengan kompleksitas O(n^3). Invers cocok bila perlu solve banyak sistem dengan matriks A sama tetapi vektor b berbeda. Komputer modern umumnya pakai dekomposisi LU atau QR. Untuk siswa SMA, Cramer paling intuitif.
Kapan SPLTV tidak punya solusi?
SPLTV tidak punya solusi tunggal jika determinan utama D = 0. Ada dua sub-kasus: 1) tidak konsisten (no solution) bila salah satu Dx, Dy, atau Dz tidak nol; secara geometri ini berarti tiga bidang tidak punya titik temu (sejajar atau saling silang). 2) tak hingga solusi bila D = Dx = Dy = Dz = 0; ketiga bidang berimpit atau berpotongan pada satu garis. Eliminasi Gauss menampilkan jenis solusi secara eksplisit lewat row echelon form.
Apa itu determinan matriks 3x3?
Determinan adalah skalar yang dihitung dari elemen matriks persegi yang merepresentasikan faktor skala transformasi linear. Untuk matriks 3x3 [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]], determinan = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg). Sifat penting: det(A) = 0 menunjukkan matriks singular (tidak punya invers, sistem tergantung). Determinan juga sama dengan volume paralelepiped yang dibentuk vektor baris (atau kolom).
Mengapa aturan Cramer hanya untuk sistem persegi?
Aturan Cramer hanya berlaku untuk sistem n persamaan dengan n variabel (matriks koefisien persegi) yang memiliki solusi tunggal (det != 0). Untuk sistem dengan jumlah persamaan tidak sama jumlah variabel (over-determined atau under-determined), gunakan eliminasi Gauss, least squares, atau pseudo-invers. Sistem 3 persamaan 4 variabel umumnya punya tak hingga solusi (1 variabel bebas).
Apa aplikasi SPLTV di kehidupan nyata?
SPLTV banyak dipakai untuk: 1) Penentuan harga komoditas dari paket campuran (seperti contoh buah di atas), 2) Analisis rangkaian listrik dengan tiga arus loop (hukum Kirchhoff), 3) Mekanika dengan tiga gaya tidak sebidang yang harus seimbang, 4) Ekonomi dengan tiga sektor saling tergantung (Leontief input-output), 5) Pemrograman linear dengan tiga variabel keputusan. Konsep ini menjadi dasar aljabar linear yang dipakai luas di mesin learning, grafik komputer, dan ekonometrika.
📚 Sumber & referensi
Terakhir diperbarui: 11 Mei 2026